對於超修、加深加廣、參加競賽的建議

對於超修、加深加廣、參加競賽的建議

Kevin老師
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先前line群內有幾位家長要我談談在小學國中階段怎樣加深加廣，以求順利銜接到高中數A，我試著概括而簡要地聊一下。希望能幫助到大家。

(1)
以下主要是針對期許較高、性向興趣較強、希望到高中大學仍保有數學優勢的孩子（以下簡稱數學孩子），對於性向興趣不在數學的孩子，千萬別用同樣的標準。

(2)
何謂加深加廣？我舉108課綱國中數學的例子，大家應能體會。
國教院課程手冊說，在數線與絕對值部分， a、b兩點的中點座標，用實例說明就好，暫不需要導出公式；絕對值也不要觸碰方程式或不等式，譬如|x-4|=2或|x-5|<2；指數部分，不要觸及負指數；在二元一次方程式中，不要有無解或無限多解的情況。
這些內容，對於數學孩子來說，本來都可以延伸學習。像指數部分，既然已經講到指數律的指數加減，那麼再延伸到負指數，是相當自然的；或者像絕對值、方程式、不等式都會在國中學到，把這些結合起來也再自然不過。如果我們對於現在的孩子講授這些東西，就是一種加深加廣，它是在既有課綱知識點周圍適當的延伸。
但注意，這只是最淺顯的例子，對於程度更好的數學孩子來說，可以延伸的東西還有很多，尤其到了國中，知識儲備以及成熟度都有點基礎，提高到競賽等級都是可以的。

(3)
超修呢？ 提前學習更高年級的課綱內容、完全在現有年級知識點之外的，就是超修了。譬如虛數i，我那個年代國三就學了，但現在如果國中生學這個，就是超修。當然超修時，深廣程度如何，那是更大的議題，先不討論。
在這邊也就可以稍微解釋一下「競賽」的本質：所有重要的中學以下數學競賽，對「加深加廣」的注重是大於「超修」的，譬如以全球中學生最高桂冠的IMO國際奧數來說，其出題範圍就是高中以下的初等數學，參賽者不需要大學以上的知識譬如微積分，當然某些題目恰好可以用高等數學來解，但這就不在競賽的主旨之內了。

(4)
超修與加深加廣，對於這個年代的數學孩子，是更重要的議題。
50歲以上家長會感受深刻，以前的國中數學深廣遠超過現在，這對一般孩子是負擔，但對數學孩子是福音，因為光是課綱內容就足以讓他們悠游其中，搞定基礎題就可以繼續碰進階題，不用過多地練習簡單題目；而且這些深廣內容的嫻熟，一方面升學考試會考，有直接收穫，二方面會加強他們對基礎題的掌握，三方面更幫助他們在未來階段可以領先。
但現在孩子面對的問題較複雜。課綱以及升學考試難度下降，學生的課內學習被限縮，可是全世界大學研究所所需的數學，卻從沒有降低過，為應付升學考試，一定程度的反覆練習避免不了，但若只專注課內，又浪費了時間跟天賦，少了深廣內容可以帶來的眼界、品味與考試實力的提升，等到考大學或進入大學後，卻又發現很多還是要從頭補強。
所以現在數學孩子的困難在此。當家長想搜尋課外材料、設定加深加廣標準時，該問誰？該學哪些？學到什麼程度？而且要和其他科目搶時間，都是問題。

(5)
超修
很多數學孩子之所以超修，其實只是因為他們「吃不飽」，現行年級課綱內的東西他們一下就搞定了，行有餘力就繼續學，這種基於內在動力的超修，是很健康的。事實上，我們教高端資優跟競賽多年，從我們自身經驗，到我們教過最頂尖的孩子，高比例有超修。
超修其實就是加速，至少有一個現實面的好處，就是提早把考試範圍學完，可以更從容地複習，這尤其在高中考大學，效用最明顯。這也是私中的策略。
所以我們是不反對數學孩子超修的，但有一點要特別注意，我們在文章或說明會中強調過多次，千萬不要搞半調子的超修。一個大略的檢驗標準～～如果您覺得孩子很優秀，可以系統化的跳級超修，那麼請確認孩子在超修的班上，也能維持領先，譬如在前面至少20%，否則可能就不是好的超修(可能中間遺漏的知識點太大、可能不夠投入、可能實力還不夠…等等)，如此學得成效不好、浪費時間、還可能讓孩子輕忽自滿，等正式學習時反而不扎實。
另外補充，成績跟做題練習絕對是有關的，想要只憑聰明才智讀懂基礎理論、考試時直接當場憑觀念就解出題目，這在國中跟高中的一部分，還做得到，但愈往大學研究所就愈不可能，因為觀念更深更難，做題本身就是學習的一部分，是補強觀念理解的重要步驟，你平時不做題，成績不會好，程度也不會好。

(6)
超修的資源比較容易找，譬如利用暑假就把整學期的課本內容學完，這就是一種最常見的超修，可以利用課本、參考書、均一、可汗、數位教材等等，都很容易安排，你有辦法的話，一路超修下去也是可以的。
但這類超修，主動性要很強，如果缺乏一些外力協助、長時間無用武之地（譬如跟進度課程無關、離升學考試還很遠、沒有搞競賽、沒有同儕環境一起持續參與…），那就不容易堅持。我們有一些小學就上高中課程甚至進入清大數培的學生，那都是搞競賽、拼科學班或者強烈性向數學狂熱的。
我個人提供一點經驗給大家參考。我從小是屬於興趣廣泛、全科領先但特別喜愛數理，即使進入建中，整體課內課外數理素養仍在班上最前端，但不愛刷題所以考試成績沒這麼前端。三十年前資優的觀念與資源都不足，我唯一一次正式超修，是在高一暑假去補習高三微積分，班上都是建中北一女的學長姐，那是建中老師開的班，利用暑假把整學期微積分教完，我很輕鬆地跟著老師進度，幾次班內測驗都是最高分，之後上高二，一些章節剛好可以利用微積分來加強理解或解題，然後高三上就又再正式學到，最後微積分我學得非常好，個人覺得是個很有效益的超修個案。
現有市面補習班多半是跟隨進度，家長要尋找系統化超修的課程，得花工夫找特殊的補習班，同時一般超前進度幅度不會太大，像我們自己的經驗也是提前半年學完就足夠了。

(7)
加深加廣的資源更難找。
首先教材就是問題。當政府課綱政策一確定，整個市場教科書參考書廠商勢必跟隨，慢慢地社會上你能找到的系統化教材，就都是簡化過的。你也不可能去刻意找一本舊課綱的二手書來練習，因為整個綱要體系不同，你還要替孩子去一題一題挑選、篩選移動某些章節、比對新舊差異，更重要的是課外的老師不會教，孩子有問題家長得自己搞定，這對一般家庭都不實際。而且舊課綱相較於新課綱，其加深加廣也只是最基本的，想要再進階，也是沒有的。
民間出版物方面，資料就很多，例如九章、凡異就有極豐富的書籍，但學生跟家長是沒有能力自己適當地挑選並安排份量與進度的，更不要說自己要閱讀理解消化，並且用其他書籍的內容來交互參考。走這種路線的，多半是沒有立即強烈的現實目標，純粹是個人興趣在知識花園中漫遊，我自己當年就是這種。
另一個方式是讀書會，但這個圈子極小，一般人並無管道，而且多半是已經很有功力的學生，初學者很難融入。
最後一種管道是找補習班，這通常是比較完整的方案，因為教材、老師、輔導、進度規劃…等等都有，但這也是稀缺資源。
原因在於加深加廣的難度高，不要說xMO等級的高階競賽，連中階競賽如AMC10/12、AIME、TRML、甚至頂尖校系的二階段考試，補習班都很難找，舉例來說，不管是台灣或是上海，教AMC8的老師多，但AMC10/12或者AIME，就少了很多，若還進一步到xMO訓練的，那都是鳳毛麟角、得找私下管道了。
細分原因有二，一是教學難度高，二是市場太小招生難度高，像我們自己會開這方面的班、舉辦AIME、TMO這種中高階競賽的解析講座、協助訓練學生參加TRML…等，是因為利用網路可以聚集各地的學生，達到充份的開班數量，而且剛好有具備教學研究熱忱且程度夠高的老師，一般的補習班，要開這種課程，真的是太難了。

(8 )
談到資優教學，老師的「高觀點」很重要，俗語說：學生一杯水，老師一缸水，即使是教國中數學，有人是高中程度就來教，有人是以大學的視野來教，這種教學的眼界與品味以及長遠的影響，是天差地遠。
我們一向主張從高等數學、到高/中/低階的中學競賽、到中小學一般資優/績優生的教學，都應秉持這樣的理念，這跟文學、藝術道理都相同，即使是低階的初學者，也應該試著用高觀點、高品位去引導他，那才能在短期的成績滿足時，也擁有一生翱翔的能力。

(9)
建議：絕大多數同學，我們建議不需要投入高階競賽，對於希望讀好學校、好科系、具備寬廣的選擇空間來說，把訓練強度拉高到部分的中階競賽水平即可，這也就是「輕競賽」的概念。這種程度不需要區分資優生或是績優生，而是努力可以達到的，這樣的強度足以在學測、分科測驗、二階段、以及AMC10/12取得較佳的成績，並且維持大學以後數理的競爭力，這對多數人會是較佳的方案。
提醒：孩子接受加深加廣的訓練，遇到挫折是在所難免，不要太在意上課沒有立即全部聽懂，也不要太在意幾次考試或作業沒有馬上取得亮麗成績，要在意的是孩子克服的過程、把難題弄懂的過程、看到同學解出來自己也不服輸的過程。學習中都覺得很容易很輕鬆，那就像彈鋼琴永遠練習簡單曲子、長跑永遠停止在1000公尺一樣；學習中的困難，才是能讓孩子進步最珍貴的地方，輕鬆的一堂課，對孩子是沒有幫助的。

(10)
結語
數學在升學跟職場上，做為篩選的指標，是愈來愈明顯的趨勢。MIT之前跟隨其他美國大學不看SAT分數，但今年Q1就宣布，他們要重新看SAT成績，因為他們發現這種標化測驗在社會階級上造成的差異還是較小，而且其成績與入學後的學術表現有高度相關性，特別是數學。
而且不只是傳統理工學院看重數學，包括財務、行銷、經濟、心理、科技法律….等領域，你數學成績好，都會受歡迎的。
這其中跟職場的趨勢也有高度相關。許多國際財務金融業者，已經不再需要大量的傳統人工交易員，都轉向徵聘數學+程式的高手，靠數學模型與電腦程式來做決策、做交易，我們學生曾應徵Jane Street、WorldQuant的暑期工讀，面試根本不問什麼財經知識，全部在問機率統計跟程式設計；網上可查到2022年Jane Street暑期工讀月薪是USD16,640(還不含津貼)，我們可以從中領悟很多訊息。
不過說這麼多，對於孩子，恐怕在智力挑戰鍛鍊與持續進步的過程中，獲取快樂、獲取成就感，才是他們最大的動力，各位家長好好去維護這火苗，給予鼓勵、給予陪伴，建立喜愛思考、不怕難、肯堅持的學習態度，這才是最重要的。


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